Если говорить кратко, то основная разница между bad и badly в том, что bad — прилагательное (плохой), badly — наречие (плохо).
Загвоздка первая: у bad в разговорной речи (только в разговорной) есть наречное значение: I need that money bad (в художественной книжке было бы написано He needed that money badly, that is why he robbed the old lady…)
Загвоздка вторая: по-русски мы скажем “Я плохо (нареч.) себя чувствую”, по-английски здесь будет прилагательное — I’m feeling bad today.
Также to feel bad about (doing) smth — стыдиться или сожалеть о чем-то: I felt bad about not being able to come last night
Обычные примеры с прилагательным bad:
I have some bad news for you
The failure of the company was due to bad managment
Making changes in your diet all at once is a bad thing to do (устойчивое выражение)
He is a bad man — keep away from him!
=naughty: bad cat! get off the table!
=serious: He is recovering from a bad accident
(about food) This milk has gone bad (испортилось)
Обязательно хотелось бы напомнить о синонимах bad (в первую очередь самой себе):
very bad: awful, terrible, horrible, lousy (inf.), appalling, ghastly, atrocious, horrendous
bad, but not very bad: not very good, mediocre, second-rate, so-so, lacklustre
of bad quality: shoddy, inferior, poor quality, cheap, crummy (inf.)
morally bad: evil, wicked, immoral, corrupt, sick, perverted, degenerate
Теперь примеры с наречием badly:
The company has been very badly managed.
He’s been limping badly since the skiing accident
The school is badly in need of some new computers.
I’m sure they won’t think badly of you if you tell them you need some help.
Может я что-то упустила?)