evidence происходит от латинского e- ‘вне, снаружи, за пределами’ + videre ‘видеть’, то есть это информация, которая помогает прийти к какому-то заключению.
proof — это фактическая информация, которая подтверждает заключение.
Стоит также обратить внимание на то, что первое значение evidence — «очевидность» (а также «ясность», «наглядность»). Заметили, в русском слове присутствует тот же корень, что и в английском — «видеть». И (если можно так сказать) большую часть времени evidence используется именно в этом значении, и только в юридическом контексте evidence становится — «улики, свидетельское показание». Вот, например, сериал Evidence по-русски называется «Улики».
Первое же значение proof — «подтверждение, доказательство». Это слово также происходит из латинского языка — точнее от «proba» — проверка, тест. От него же и испанское prueba, итальянское prova и французское prueve.
бесспорное доказательство — indisputable proof / evidence
убедительное доказательство — convincing proof / evidence
достаточное доказательство — sufficient proof
неопровержимое доказательство — irrefutable proof
математическое доказательство — mathematical proof
to call in evidence — вызывать в суд для дачи показаний
to gather / piece together evidence — собирать улики
to suppress / withhold evidence — утаивать улики
The proof is in the pudding — букв. доказательство в пудинге. Смысл в том, что мы можем судить о чем-то только после того, как мы это попробуем. Пример от The English We Speak.